Ciencias formales: el surgimiento de las geometrías no euclideanas

Ciencias Formales: se explicita la distinción entre ciencias formales y fácticas, se distingue como caso particular la geometría como ciencia formal (con teoremas) de la geometría del espacio o geometría física como ciencia fáctica (con mediciones en el terreno). Se estudian los elementos empleados en los sistemas axiomáticos y los métodos deductivos utilizados para justificar los teoremas a partir de los axiomas (no es necesario desarrollar con demasiado detalle los métodos deductivos de la lógica, pero se deben introducir algunas reglas de inferencia para mostrar los métodos típicos de estas ciencias) en particular se mostrarán ejemplos sencillos de la demostración por el absurdo. Como caso de interés para este método se estudia el caso histórico del quinto postulado de Euclides, que da lugar al surgimiento de las geometrías no euclideanas. Se estudian las características de completitud, consistencia e independencia de los sistemas axiomáticos y se ilustra con diferentes sistemas interpretados como reglas de juego. Axiomatización e interpretación: se presentan estas dos operaciones como la interacción entre las ciencias fácticas y las formales (por ejemplo la representación en ecuaciones de un problema de física de caída libre, el cálculo de los resultados y la posterior interpretación de los resultados, respectivamente). Se explicita también la relación entre sistemas axiomáticos completos, consistentes e independientes con los casos de interpretación como sistemas jurídicos, programas de computación y reglas de algún juego de mesa. Es importante mostrar que el crecimiento de un sistema jurídico implica acrecentar el sistema de axiomas (que corresponde en caso de imaginarlo axiomatizado) y que tal crecimiento conlleva el riesgo de resultar en un sistema inconsistente si no se derogan con anterioridad las leyes que puedan entrar en conflicto con las nuevas normativas. Se analizan las consecuencias de tener un sistema jurídico incompleto, los de un sistema inconsistente y los de uno dependiente. Del mismo modo se puede mostrar que el desarrollo de un programa (software) con módulos incompatibles o incompletos lleva a la falla de sistema e incapacidad de operación del hardware. Surgimiento de la geometría física en el antiguo Egipto. Se estudian los primeros métodos de la geometría física asociados con la medición de los terrenos y se muestra la organización teórica bajo un método deductivo realizada por Euclides en el plano de la geometría formal. Se relaciona esta organización con lo que se entendía como método adecuado para la organización del conocimiento: el método deductivo, según el cual todo conocimiento de debe obtener por deducción a partir de enunciados autoevidentes (de allí la importancia de los silogismos en la lógica aristotélica y otras surgidas en la época y discutidas durante siglos). Esta unidad está pensada para el estudio de los métodos de las ciencias formales, pero resaltando su conexión y distinción con las ciencias fácticas. El núcleo temático no ha sido introducido en el diagrama por servir de caso de contraste con el resto de las discusiones. Por ejemplo no se aplican a las ciencias formales las consideraciones sobre el avance de los instrumentos de medición, pero sí se le aplican las del avance en los métodos de cálculo, heurísticas computacionales para la búsqueda de demostraciones, etc.

Contenidos

Distinción ciencias formales y ciencias fácticas. Sistemas axiomáticos. Primitivos, fórmulas bien formadas, axiomas, teoremas. Noción de "verdad" en ciencias formales. Completitud, consistencia e independencia de los sistemas. Axiomatización e interpretación. Modelos de un sistema axiomático. Razonamientos válidos y no válidos. Falacias. Método indirecto.

Recomendaciones

El abordaje de sistemas axiomáticos particulares se ve facilitado por la noción de regla de juego. La confección de juegos cuyas reglas conformen un sistema completo consistente e independiente de las acciones que puedan realizarse en él, es un ejercicio adecuado para la comprensión de los conceptos de ciencias formales. Así, el uso de modelos, entendidos como casos empíricos que instancian la axiomática del sistema, es la plataforma concreta para la elaboración de conceptos abstractos. El segundo ejercicio es la búsqueda de un segundo modelo que cumpla con la misma axiomática. Esto favorece la identificación de la estructura abstracta y su diferencia de cada uno de los modelos que la cumplen. En cuanto al tema de las geometrías no euclideanas se sugiere el uso de maquetas de superficies curvas que pueden aproximarse por superficies planas y en las que la suma de los ángulos interiores de un triángulo no es 180°, por ejemplo las superficies con curvatura positiva (esféricas convexas: exterior de una cuchara) y negativa (silla de montar o superficies cóncavas como el interior de una cuchara). Esto permite visualizar la diferencia entre modelos bidimensionales que cumplen la axiomática euclídea de los que no la cumplen. Se sugiere también analizar teoremas sencillos como el de Tales o el de Pitágoras y comparar sus demostraciones con la constatación de que sus afirmaciones se cumplen en el mundo empírico para un cierto grado de precisión. Así se distinguen dos tareas diferentes según se trate de afirmaciones de las ciencias formales o de las ciencias fácticas. Respecto de los métodos deductivos se sugiere que los alumnos analicen diferentes esquemas para poder distinguir los razonamientos válidos de los no válidos y que puedan identificar con destreza los razonamientos falaces. Este tipo de destreza puede ser profundizada con el uso de juegos sencillos como el sudoku (cuadrado mágico) o equivalentes (sokoban y otros en juegos de PC) que se resuelven por inferencias válidas. Estas capacidades son propias del pensamiento formal y su estímulo genera una mejor capacidad de análisis en el resto de los temas.