Sistemas axiomáticos: diálogos
Una charla informal sobre ciencias formales
Nicolás le pide a Mirta que le explique de qué manera se trabaja en ciencias formales, cómo es posible obtener resultados de algo que no se refiera a los hechos del mundo.
Primeras nociones: axiomas, teoremas y verdad
Mirta: Para comenzar imaginemos estos tres enunciados:
1) Todo p incide con más de 3 q.
2) Todo p incide con menos de 6 q.
3) Existe p.
¿Podes extraer alguna conclusión?
Nicolás: Y sí… que “Todo p incide con 4 o 5 q”
Mirta: Viste, aunque no sepamos a qué se refiere podemos extraer conclusiones. ¿Qué otra conclusión? A ver por ejemplo ¿puede existir un p que incida con 7 q?
Nicolás: No
Mirta: ¿Por qué?
Nicolás: Fácil, porque eso contradice el enunciado 2
Mirta: Bueno, ahora veamos si 1 y 2 fueran VERDADEROS cómo sería el enunciado E1 “Todo p incide con 4 o 5 q”
Nicolás: Y también VERDADERO
Mirta: Tal cual, fijate que la VERDAD es contagiosa, se transmite de 1, 2 y 3 a E1, y contame cómo resulta E2: “Existe un p que incide con 7 q”
Nicolás: Ese sería FALSO
Mirta: Entonces ya tenemos las nociones de VERDADERO y FALSO, ahora contame qué te parece esta frase “Todo m entonces p q incide y existe”
Nicolás:¡¿Ehh?!, no sé… eso no es nada, no es VERDADERO ni FALSO, es cualquier cosa.
Mirta: Tal cual, el problema con esta frase es que no está bien formada para que una frase tenga sentido para estos enunciados debe seguir una sintaxis, es igual a la gramática de los idiomas en donde cada elemento tiene su lugar. En este caso “p y q” son nuestros elementos primitivos y la relación “incide” es nuestra relación primitiva. Los primitivos no se definen. Si una frase habla de otros elementos o relaciones que no son los mismos primitivos originales, no estará bien formada. Y si falla la sintaxis, tampoco estará bien formada. Para preguntarnos si una frase es verdadera o falsa, entonces primero tenemos que ver si es una frase bien formada. Las llamamos “fórmulas bien formadas” (FBF). Solo nos vamos a concentrar en evaluar FBF, el resto es puro ruido.
¿Te acordás qué propiedades tiene un razonamiento deductivo en lógica?
Nicolás: Sí. La deducción es un razonamiento en el que el hablante cree que las premisas dan un respaldo absoluto a la conclusión. Por eso el hablante está convencido de que la verdad de las premisas se traspasa a la conclusión.
Por otra parte, si el razonamiento que usa es válido, entonces si las premisas son verdaderas, la conclusión no puede ser falsa.
Mirta: Exacto, de ahí se sigue que a partir de nuestros enunciados 1, 2 y 3 formados con nuestros elementos primitivos y nuestra relación primitiva se pueden DEDUCIR otros enunciados a los cuales se les transmite la verdad. Los enunciados 1, 2 y 3 pasan a ser nuestros AXIOMAS 1, 2 y 3. Estos enunciados, al ser tomados como axiomas, son VERDADEROS por convención. En cambio todo enunciado que se obtenga deductivamente por razonamientos válidos a partir de ellos, serán también verdaderos pero no por convención sino porque han “heredado” la verdad de los primeros. A estos otros enunciados verdaderos los llamamos TEOREMAS.
Características de los sistemas axiomáticos
La independencia
Mirta: Ahora imaginate que elegimos como axiomas estos cuatro enunciados en vez de los tres originales (en realidad le agrego solo el 4):
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
A3) Existe p.
A4) No existe p que incide con 7q
Ahora contame que opinás de este paquete de axiomas, que no es otra cosa que un SISTEMA AXIOMÁTICO (un conjunto de axiomas).
Nicolás: Y… para mí está mal
Mirta: ¿Por?
Nicolás: Porque A4 es Teorema
Mirta: Pero fijate que A4 es AXIOMA porque lo hemos colocado en la lista de enunciados que tomamos como verdaderos de entrada. ¿Lo que me decís es que uno de los axiomas se deduce de los demás?
Nicolás: Para mí, sí
Mirta: Pero si está en la lista, es un axioma. Aunque reconozco que en este sistema parece no agregar nada nuevo, ¿no?
Nicolás: No
Mirta: Tal cual. No agrega nada, pero tampoco es tan grave. Es como decir que está lloviendo y también que está cayendo agua del cielo. A este tipo de sistema axiomático lo llamamos DEPENDIENTE porque alguno de sus axiomas se puede obtener a partir de los demás. ¿Se te ocurre algún otro caso?
Nicolás: Mmm a ver…. ¿Podría ser “No existe p que incide con 8 q”?
Mirta: Sí, está bien pero podrías ser un poco más creativo…
Nicolás: Bueno es que recién empiezo, ¿qué tal “Todo p incide con menos de 7q”?
Ahora bien el sistema axiomático original:
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
A3) Existe p.
¿Era dependiente como el de recién?
Nicolás: A mí me parece que no
Mirta: Tal cual, era INDEPENDIENTE y con esto acabamos de ver una de las propiedades de los sistemas axiomáticos, que los mismos pueden ser DEPENDIENTES o INDEPENDIENTES.
La consistencia
Mirta: Ahora tomemos este otro sistema axiomático:
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
A3) Existe p.
A4) Todo p incide con 8 q exactamente.
¿Qué opinas?
Nicolás: Está mal, es FALSO
Mirta: No pueden ser falsos los axiomas acordate que son nuestro punto de partida y los tomamos cómo verdaderos por convención.
Nicolás: Entonces A4 está mal porque se contradice con los demás
Mirta: Más o menos por ahí viene la mano, vamos a tratar de extraer teoremas:
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
De A2 podemos obtener:
T1) No existe p que incide con más 7q.
A3) Existe p.
A4) Todo p incide con 8 q exactamente. Y de A3 y A4 podemos obtener:
T2) Existe p que incide con más de 7q.
En este sistema axiomático tengo una FBF que es teorema (T2) y su negación (T1), por lo tanto decimos que este sistema es INCONSISTENTE, ¿qué hubiera pasado si borrábamos A4?
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
A3) Existe p.
Nicolás: Ahí no se contradice
Mirta: Exacto, este sistema después de haberle borrado el axioma 4 es CONSISTENTE y ésta es otra propiedad de los sistemas axiomáticos.
La completitud
Mirta: Ahora para variar tomemos este otro sistema axiomático:
A1) Todo p incide con 1 q exactamente.
A2) Todo q incide con 1 p exactamente.
A3) Existe p.
Contame ¿cómo es cada enunciado? Verdadero o Falso
Todo p incide con menos de 7 q
Todo p incide con más que 0 q
Todo p incide con menos que 8 q
Todo q incide con menos de 8 p
Nicolás: Todo eso es verdadero ¿por?
Mirta: Y qué pasa con estos otros enunciados:
Todo p incide con más de 2 q
Todo p incide con más de 3 q
Existe p que incide con 4q exactamente
Nicolás: Todo eso es falso. ¿Entonces?
Mirta: La parte importante es notar que este sistema axiomático me permite ver si es verdadera o falsa cada FBF.
Si toda FBF puede saberse si es verdadera o falsa, el sistema es COMPLETO.
Basta con que exista una FBF de la que no se pueda determinar su valor de verdad en el sistema para que este sea INCOMPLETO.
Pero solo hemos inferido que el sistema es completo porque hemos visto un sistema muy simple y podemos imaginar distintas FBF y vemos que todas son o bien verdaderas o bien falsas y no se nos ocurre ninguna para la que no podamos decidir. Eso es solo intuición bien educada, pero no es una demostración formal de que el sistema es completo.
No se puede hacer una demostración formal de que un sistema es compleo, por lo cual no podríamos saber nunca si es completo si no agregamos otras suposiciones (no importa ahora, solo digamos esto para no quedarnos con la ilusión de que podemos demostrarlo así nomás).
Por otra parte, si para cierto sistema ya vemos o conocemos un enunciado (una FBF) que no resulta verdadera ni falsa, entonces ya nos daremos cuenta de que el sistema es incompleto.
Por ejemplo, para el sistema origianal, cómo resulta el siguiente enunciado:
"Todo p incide con 5q exactamente"
Nicolas: No es teorema porque no es seguro que todos los p incidan con 5q exactamente. Y tampoco es falso porque podría se diera esa situación... Así que su valor de verdad no está garantizado por los axiomas.
Mirta: así es. Por eso es fácil darse cuenta que el sistema original es un sistema INCOMPLETO.
Ciencias formales y ciencias fácticas: interpretación y axiomatización
Mirta: Para terminar tomemos este otro sistema axiomático:
A1) Todo p incide con 4 q.
A2) Existe p.
Y vamos a darle alguna interpretación a este sistema haciéndole corresponder alguna referencia a cada uno de los primitivos (p y q) y a la relación primitiva (indicir).
Por ejemplo:
| Interpretación | p | q | incide |
|---|---|---|---|
| a | perros | patas | tiene |
| b | autos | ruedas | se apoya en |
| c | peces | cabezas | le crecen |
| d | planetas | lunas | tienen en órbita |
Nicolás: Y esto que tiene ¿qué ver con los sistemas axiomáticos?
Mirta: Ahora vas a ver, vamos a pensar qué pasaría si a cada primitivo del sistema axiomático anterior, le asignamos un significado fáctico. Entonces para la interpretación a, donde dice “Todo p” se leería “Todo perro”, donde dice “incide con” quedaría “tiene” y en la parte de “4 q” serían “4 patas”. ¿Cómo quedaría el enunciado que antes era el axioma 1?
Nicolás: Y…. “Todo perro tiene 4 patas”
Mirta: ¿Ves? Tiene sentido ¿no?
Nicolás: Sí, sentido tiene pero toda esta charla viene porque no puedo entender cómo funcionan las ciencias formales sin referirse a la realidad, y acá me estás dando un ejemplo muy real.
Mirta: Es cierto lo que decís, pero te cuento otra ventaja de los sistemas axiomáticos, se pueden INTERPRETAR. Esto es darle un correlato fáctico o con los hechos del mundo.
Ahora qué te parece si seguimos con otro ejemplo ¿cómo quedaría ese mismo enunciado con las otras interpretaciones de la tabla?
Nicolás: Eso es fácil “Todo auto se apoya sobre 4 ruedas” y…. ¡¿”A todo pez le crecen 4 cabezas”?! , eso no me suena mucho a hechos del mundo salvo en los Simpsons
Mirta: Jajajaja si, lo que pasa es que como te imaginas, un sistema axiomático nos brinda una estructura, tiene que ver con la forma en que los elementos se relacionan, su característica más importante es que sea consistente para que al otorgarle contenido fáctico.
Sería difícil pensar en algo fáctico contradictorio. No parece interesante decir que “Todo perro tiene 4 patas y existe un perro que no tiene cuatro patas” ¿entendés? Sin embargo con esto no basta.
Modelos
Un sistema interpretado pasa a formar parte de las ciencias fácticas y si esa interpretación se ajusta a los hechos del mundo como vimos con los autos y los perros se dice que esa interpretación es MODELO del sistema axiomático. Si, en cambio, como en el caso del pez eso no sucede porque los hechos no corroboran sino que refutan que les crezcan 4 cabezas, decimos que esa interpretación NO ES MODELO del sistema.
Nicolás: La verdad me sorprendiste, no pensé que existiera tal relación entre algo formal y lo que observamos en la realidad.
Mirta: La interpretación es una asignación que decidimos nosotros, pero nosotros no podemos decidir si esa interpretación resulta ser un modelo o no. No podemos elegir que los hechos del mundo corroboren o refuten el enunciado fáctico. Esa parte es lo que nos brinda la información de nuestro entorno.
Nicolás: Podemos elegir asignar personas en vez de perros al primitivo p, y piernas en vez de patas al primitivo q, pero luego de eso, como las personas no tienen cuatro piernas, lo que obtenemos no sería un modelo.
Mirta: Ahora que sabemos realizar la operación de INTERPRETACIÓN, ¿cómo sería la operación inversa? Cada vez que realizamos una operación podemos pensar en cómo deshacerla... Armo un rompecabezas y luego lo desarmo; ordeno las cartas y luego las desordeno; armo una pila de libros en la mesa y luego puedo desarmar la pila.
¿Cómo sería la operación inversa a interpretar?
Nicolás: Creo que podemos tomar el enunciado “Todo perro tiene 4 patas” y quitarle el significado a los elementos y relaciones (perro, pata, tiene) y ponerle un símbolo o algo que no sabemos qué es. Con eso obtendríamos nuevamente “Todo p incide con 4q”
Mirta: Perfecto.
No sólo es posible interpretar un sistema axiomático dándole contenido fáctico, también es posible axiomatizar modelos, simbolizando y abstrayendo el significado fáctico. Esta operación se llama AXIOMATIZACIÓN.
Axiomatizar una teoría es poder encontrar la estructura que tiene. Es la estructura de relaciones entre los elementos de la teoría o modelo.
Así que, como toda teoría fáctica tiene cierta estructura, en el trabajo de cada persona dedicada a las ciencias siempre hay un ida y vuelta entre las ciencias formales y las fácticas. Miramos cómo son los datos del mundo y tratamos de armar una estructura que se ajuste a esos datos.
Por eso la lógica, que es una de las ciencias formales, siempre anda dando vueltas dentro de la práctica científica.
Nicolás: Me quedé pensando... ¿habrá alguna teoría fáctica para la que la lógica tradicional no sea suficiente?