Sistemas axiomáticos: diálogos
Una charla informal sobre ciencias formales
Nicolás le pide a Mirta que le explique de qué manera se trabaja en ciencias formales, cómo es posible obtener resultados de algo que no se refiera a los hechos del mundo.
Primeras nociones: axiomas, teoremas y verdad
Mirta: Para comenzar imaginemos estos tres enunciados:
1) Todo p incide con más de 3 q.
2) Todo p incide con menos de 6 q.
3) Existe p.
¿Podes extraer alguna conclusión?
Nicolás: Y sí… que “Todo p incide con 4 o 5 q”
Mirta: Viste, aunque no sepamos a qué se refiere podemos extraer conclusiones. ¿Qué otra conclusión? A ver por ejemplo ¿puede existir un p que incida con 7 q?
Nicolás: No
Mirta: ¿Por qué?
Nicolás: Fácil, porque eso contradice el enunciado 2
Mirta: Bueno, ahora veamos si 1 y 2 fueran VERDADEROS cómo sería el enunciado E1 “Todo p incide con 4 o 5 q”
Nicolás: Y también VERDADERO
Mirta: Tal cual, fijate que la VERDAD es contagiosa, se transmite de 1, 2 y 3 a E1, y contame cómo resulta E2: “Existe un p que incide con 7 q”
Nicolás: Ese sería FALSO
Mirta: Entonces ya tenemos las nociones de VERDADERO y FALSO, ahora contame qué te parece esta frase “Todo m entonces p q incide y existe”
Nicolás:¡¿Ehh?!, no sé… eso no es nada, no es VERDADERO ni FALSO, es cualquier cosa.
Mirta: Tal cual, el problema con esta frase es que no está bien formada para que una frase tenga sentido para estos enunciados debe seguir una sintaxis, es igual a la gramática de los idiomas en donde cada elemento tiene su lugar. En este caso “p y q” son nuestros elementos primitivos y la relación “incide” es nuestra relación primitiva. Los primitivos no se definen. Si una frase habla de otros elementos o relaciones que no son los mismos primitivos originales, no estará bien formada. Y si falla la sintaxis, tampoco estará bien formada. Para preguntarnos si una frase es verdadera o falsa, entonces primero tenemos que ver si es una frase bien formada. Las llamamos “fórmulas bien formadas” (FBF). Solo nos vamos a concentrar en evaluar FBF, el resto es puro ruido.
¿Te acordás qué propiedades tiene un razonamiento deductivo en lógica?
Nicolás: Sí. La deducción es un razonamiento en el que el hablante cree que las premisas dan un respaldo absoluto a la conclusión. Por eso el hablante está convencido de que la verdad de las premisas se traspasa a la conclusión.
Por otra parte, si el razonamiento que usa es válido, entonces si las premisas son verdaderas, la conclusión no puede ser falsa.
Mirta: Exacto, de ahí se sigue que a partir de nuestros enunciados 1, 2 y 3 formados con nuestros elementos primitivos y nuestra relación primitiva se pueden DEDUCIR otros enunciados a los cuales se les transmite la verdad. Los enunciados 1, 2 y 3 pasan a ser nuestros Axiomas 1, 2 y 3. Estos enunciados, al ser tomados como axiomas, son VERDADEROS por convención. En cambio todo enunciado que se obtenga deductivamente por razonamientos válidos a partir de ellos, serán también verdaderos pero no por convención sino porque han “heredado” la verdad de los primeros. A estos otros enunciados verdaderos los llamamos TEOREMAS.
Características de los sistemas axiomáticos
La independencia
Mirta: Ahora imaginate que elegimos como axiomas estos cuatro enunciados en vez de los tres originales (en realidad le agrego solo el 4):
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
A3) Existe p.
A4) No existe p que incide con 7q
Ahora contame que opinás de este paquete de axiomas, que no es otra cosa que un SISTEMA AXIOMÁTICO (un conjunto de axiomas).
Nicolás: Y… para mí está mal
Mirta: ¿Por?
Nicolás: Porque A4 es Teorema
Mirta: Pero fijate que A4 es AXIOMA porque lo hemos colocado en la lista de enunciados que tomamos como verdaderos de entrada. ¿Lo que me decís es que uno de los axiomas se deduce de los demás?
Nicolás: Para mí, sí
Mirta: Pero si está en la lista, es un axioma. Aunque reconozco que en este sistema parece no agregar nada nuevo, ¿no?
Nicolás: No
Mirta: Tal cual. No agrega nada, pero tampoco es tan grave. Es como decir que está lloviendo y también que está cayendo agua del cielo. A este tipo de sistema axiomático lo llamamos DEPENDIENTE porque alguno de sus axiomas se puede obtener a partir de los demás. ¿Se te ocurre algún otro caso?
Nicolás: Mmm a ver…. ¿Podría ser “No existe p que incide con 8 q”?
Mirta: Sí, está bien pero podrías ser un poco más creativo…
Nicolás: Bueno es que recién empiezo, ¿qué tal “Todo p incide con menos de 7q”?
Ahora bien el sistema axiomático original:
A1) Todo p incide con más de 3 q.
A2) Todo p incide con menos de 6 q.
A3) Existe p.
¿Era dependiente como el de recién?
Nicolás: A mí me parece que no
Mirta: Tal cual, era INDEPENDIENTE y con esto acabamos de ver una de las propiedades de los sistemas axiomáticos, que los mismos pueden ser DEPENDIENTES o INDEPENDIENTES.