Sistemas axiomáticos: diálogos

Una charla informal sobre ciencias formales

Nicolás le pide a Mirta que le explique de qué manera se trabaja en ciencias formales, cómo es posible obtener resultados de algo que no se refiera a los hechos del mundo.

Primeras nociones: axiomas, teoremas y verdad

Mirta: Para comenzar imaginemos estos tres enunciados:

1) Todo p incide con más de 3 q.

2) Todo p incide con menos de 6 q.

3) Existe p.

¿Podes extraer alguna conclusión?

Nicolás: Y sí… que “Todo p incide con 4 o 5 q”

Mirta: Viste, aunque no sepamos a qué se refiere podemos extraer conclusiones. ¿Qué otra conclusión? A ver por ejemplo ¿puede existir un p que incida con 7 q?

Nicolás: No

Mirta: ¿Por qué?

Nicolás: Fácil, porque eso contradice el enunciado 2

Mirta: Bueno, ahora veamos si 1 y 2 fueran VERDADEROS cómo sería el enunciado E1 “Todo p incide con 4 o 5 q”

Nicolás: Y también VERDADERO

Mirta: Tal cual, fijate que la VERDAD es contagiosa, se transmite de 1, 2 y 3 a E1, y contame cómo resulta E2: “Existe un p que incide con 7 q”

Nicolás: Ese sería FALSO

Mirta: Entonces ya tenemos las nociones de VERDADERO y FALSO, ahora contame qué te parece esta frase “Todo m entonces p q incide y existe”

Nicolás:¡¿Ehh?!, no sé… eso no es nada, no es VERDADERO ni FALSO, es cualquier cosa.

Mirta: Tal cual, el problema con esta frase es que no está bien formada para que una frase tenga sentido para estos enunciados debe seguir una sintaxis, es igual a la gramática de los idiomas en donde cada elemento tiene su lugar. En este caso “p y q” son nuestros elementos primitivos y la relación “incide” es nuestra relación primitiva. Los primitivos no se definen. Si una frase habla de otros elementos o relaciones que no son los mismos primitivos originales, no estará bien formada. Y si falla la sintaxis, tampoco estará bien formada. Para preguntarnos si una frase es verdadera o falsa, entonces primero tenemos que ver si es una frase bien formada. Las llamamos “fórmulas bien formadas” (FBF). Solo nos vamos a concentrar en evaluar FBF, el resto es puro ruido.

¿Te acordás qué propiedades tiene un razonamiento deductivo en lógica?

Nicolás: Sí. La deducción es un razonamiento en el que el hablante cree que las premisas dan un respaldo absoluto a la conclusión. Por eso el hablante está convencido de que la verdad de las premisas se traspasa a la conclusión.

Por otra parte, si el razonamiento que usa es válido, entonces si las premisas son verdaderas, la conclusión no puede ser falsa.

Mirta: Exacto, de ahí se sigue que a partir de nuestros enunciados 1, 2 y 3 formados con nuestros elementos primitivos y nuestra relación primitiva se pueden DEDUCIR otros enunciados a los cuales se les transmite la verdad. Los enunciados 1, 2 y 3 pasan a ser nuestros Axiomas 1, 2 y 3. Estos enunciados, al ser tomados como axiomas, son VERDADEROS por convención. En cambio todo enunciado que se obtenga deductivamente por razonamientos válidos a partir de ellos, serán también verdaderos pero no por convención sino porque han “heredado” la verdad de los primeros. A estos otros enunciados verdaderos los llamamos TEOREMAS.

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Características de los sistemas axiomáticos

La independencia

Mirta: Ahora imaginate que elegimos como axiomas estos cuatro enunciados en vez de los tres originales (en realidad le agrego solo el 4):

A1) Todo p incide con más de 3 q.

A2) Todo p incide con menos de 6 q.

A3) Existe p.

A4) No existe p que incide con 7q

Ahora contame que opinás de este paquete de axiomas, que no es otra cosa que un SISTEMA AXIOMÁTICO (un conjunto de axiomas).

Nicolás: Y… para mí está mal

Mirta: ¿Por?

Nicolás: Porque A4 es Teorema 

Mirta: Pero fijate que A4 es AXIOMA porque lo hemos colocado en la lista de enunciados que tomamos como verdaderos de entrada. ¿Lo que me decís es que uno de los axiomas se deduce de los demás?

Nicolás: Para mí, sí

Mirta: Pero si está en la lista, es un axioma. Aunque reconozco que en este sistema parece no agregar nada nuevo, ¿no?

Nicolás: No

Mirta: Tal cual. No agrega nada, pero tampoco es tan grave. Es como decir que está lloviendo y también que está cayendo agua del cielo. A este tipo de sistema axiomático lo llamamos DEPENDIENTE porque alguno de sus axiomas se puede obtener a partir de los demás. ¿Se te ocurre algún otro caso?

Nicolás: Mmm a ver…. ¿Podría ser “No existe p que incide con 8 q”?

Mirta: Sí, está bien pero podrías ser un poco más creativo…

Nicolás: Bueno es que recién empiezo, ¿qué tal “Todo p incide con menos de 7q”?

Ahora bien el sistema axiomático original:

A1) Todo p incide con más de 3 q.

A2) Todo p incide con menos de 6 q.

A3) Existe p.

¿Era dependiente como el de recién?

Nicolás: A mí me parece que no

Mirta: Tal cual, era INDEPENDIENTE y con esto acabamos de ver una de las propiedades de los sistemas axiomáticos, que los mismos pueden ser DEPENDIENTES o INDEPENDIENTES.

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La consistencia

Mirta: Ahora tomemos este otro sistema axiomático:

A1) Todo p incide con más de 3 q.

A2) Todo p incide con menos de 6 q.

A3) Existe p.

A4) Todo p incide con 8 q exactamente.

¿Qué opinas?

Nicolás: Está mal, es FALSO 

Mirta: No pueden ser falsos los axiomas acordate que son nuestro punto de partida y los tomamos cómo verdaderos por convención.

Nicolás: Entonces A4 está mal porque se contradice con los demás

Mirta: Más o menos por ahí viene la mano, vamos a tratar de extraer teoremas:

A1) Todo p incide con más de 3 q.

A2) Todo p incide con menos de 6 q.

De A2 podemos obtener:

T1) No existe p que incide con más 7q.

A3) Existe p.

A4) Todo p incide con 8 q exactamente. Y de A3 y A4 podemos obtener:

T2) Existe p que incide con más de 7q.

En este sistema axiomático tengo una FBF que es teorema (T2) y su negación (T1), por lo tanto decimos que este sistema es INCONSISTENTE, ¿qué hubiera pasado si borrábamos A4?

A1) Todo p incide con más de 3 q.

A2) Todo p incide con menos de 6 q.

A3) Existe p.

Nicolás: Ahí no se contradice

Mirta: Exacto, este sistema después de haberle borrado el axioma 4 es CONSISTENTE y ésta es otra propiedad de los sistemas axiomáticos.

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La completitud

Mirta: Ahora para variar tomemos este otro sistema axiomático:

A1) Todo p incide con 1 q exactamente.

A2) Todo q incide con 1 p exactamente.

A3) Existe p.

Contame ¿cómo es cada enunciado? Verdadero o Falso

Todo p incide con menos de 7 q

Todo p incide con más que 0 q

Todo p incide con menos que 8 q

Todo q incide con menos de 8 p

Nicolás: Todo eso es verdadero ¿por?

Mirta: Y qué pasa con estos otros enunciados:

Todo p incide con más de 2 q

Todo p incide con más de 3 q

Existe p que incide con 4q exactamente

Nicolás: Todo eso es falso. ¿Entonces?

Mirta: La parte importante es notar que este sistema axiomático me permite ver si es verdadera o falsa cada FBF.

Si toda FBF puede saberse si es verdadera o falsa, el sistema es COMPLETO.

Basta con que exista una FBF de la que no se pueda determinar su valor de verdad en el sistema para que este sea INCOMPLETO.

Pero solo hemos inferido que el sistema es completo porque hemos visto un sistema muy simple y podemos imaginar distintas FBF y vemos que todas son o bien verdaderas o bien falsas y no se nos ocurre ninguna para la que no podamos decidir. Eso es solo intuición bien educada, pero no es una demostración formal de que el sistema es completo.

No se puede hacer una demostración formal de que un sistema es compleo, por lo cual no podríamos saber nunca si es completo si no agregamos otras suposiciones (no importa ahora, solo digamos esto para no quedarnos con la ilusión de que podemos demostrarlo así nomás).

Por otra parte, si para cierto sistema ya vemos o conocemos un enunciado (una FBF) que no resulta verdadera ni falsa, entonces ya nos daremos cuenta de que el sistema es incompleto.

Por ejemplo, para el sistema origianal, cómo resulta el siguiente enunciado:

"Todo p incide con 5q exactamente"

Nicolas: No es teorema porque no es seguro que todos los p incidan con 5q exactamente. Y tampoco es falso porque podría se diera esa situación... Así que su valor de verdad no está garantizado por los axiomas.

Mirta: así es. Por eso es fácil darse cuenta que el sistema original es un sistema INCOMPLETO.